Procura-se um amigo

Não precisa ser homem, basta ser humano, basta ter sentimentos, basta ter coração.
Precisa saber falar e calar, sobretudo saber ouvir.
Tem que gostar de poesia, de madrugada, de pássaro, de sol, da lua, do canto, dos ventos e das canções da brisa.

Deve ter amor, um grande amor por alguém, ou então sentir falta de não ter esse amor.
Deve amar o próximo e respeitar a dor que os passantes levam consigo.
Deve guardar segredo sem se sacrificar.

Não é preciso que seja de primeira mão, nem é imprescindível que seja de segunda mão.
Pode já ter sido enganado, pois todos os amigos são enganados.
Não é preciso que seja puro, nem que seja todo impuro, mas não deve ser vulgar.

Deve ter um ideal e medo de perdê-lo e, no caso de assim não ser,
deve sentir o grande vácuo que isso deixa.
Tem que ter ressonâncias humanas, seu principal objetivo deve ser o de amigo.

Deve sentir pena das pessoa tristes e compreender o imenso vazio dos solitários.
Deve gostar de crianças e lastimar as que não puderam nascer.
Procura-se um amigo para gostar dos mesmos gostos, que se comova, quando chamado de amigo.

Que saiba conversar de coisas simples, de orvalhos, de grandes chuvas e das recordações de infância.
Precisa-se de um amigo para não se enlouquecer, para contar o que se viu de belo e triste durante o dia, dos anseios e das realizações, dos sonhos e da realidade.
Deve gostar de ruas desertas, de poças de água e de caminhos molhados, de beira de estrada, de mato depois da chuva, de se deitar no capim.

Precisa-se de um amigo que diga que vale a pena viver, não porque a vida é bela, mas porque já se tem um amigo.
Precisa-se de um amigo para se parar de chorar.
Para não se viver debruçado no passado em busca de memórias perdidas.

Que nos bata nos ombros sorrindo ou chorando, mas que nos chame de amigo, para ter-se a consciência de que ainda se vive.

Aula 01: Matrizes

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto S_mn associa um número real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

a(1,1)	a(1,2)	...	a(1,n)
a(2,1)	a(2,2)	...	a(2,n)
...	...	...	...
a(m,1)	a(m,2)	...	a(m,n)

Definições básicas sobre matrizes

1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
2. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento a_ij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
5. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
6. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:
   a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
7. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
8. Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.
9. Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.
10. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
11. Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
12. Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Exemplos de matrizes

Matriz 4x4 de números reais:

12	-6	7	18
-23	-24	0	0
0	0	5	0
0	0	0	9

Matriz 4x4 de números complexos:

12	-6+i	7	i
-i	-24	0	0
0	0	5+i	5-i
0	0	0	9

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:

0	0
0	0

Matriz nula com três linhas e duas colunas:

0	0
0	0
0	0

Matriz identidade com três linhas e três colunas:

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

23	0	0	0
0	-56	0	0
0	0	0	0
0	0	0	100

Matrizes iguais

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:

a(i,j) = b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

1 2 3 4	=	x-1 y-1 x+y x2

Soma de matrizes e suas propriedades

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:

c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.

-23 10 7 9	+	10 5 8 9	=	-13 15 15 18

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (-A) = 0

Multiplicação de escalar por matriz e suas propriedades

Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:

c(i,j) = k. a(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:

-4	-2 10 7 9	=	-8 -40 28 36

Propriedades da multiplicação de escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:

1.A = A

E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:

0.A = 0

E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

k (A+B) = k A + k B

E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:

(p + q) A = p A + q A

Multiplicação de matrizes

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:

c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)

para todo par (u,v) em S_mr.

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

1. multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
2. multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
3. multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
4. multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
5. somar os quatro produtos obtidos anteriomente.

Assim:

c₂₃ = a₂₁ b₁₃ + a₂₂ b₂₃ + a₂₃ b₃₃ + a₂₄ b₄₃

Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44	×	b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44	=	c11 c12 c13 c14 c21 c22 c23 c24 c31 c32 c33 c34 c41 c42 c43 c44

Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:

1 2 3 2 4 6 3 6 9	×	1 2 3 5 7 9

M2: Distributividade da soma à direita

A (B+C) = A B + A C

M3: Distributividade da soma à esquerda

(A + B) C = A C + B C

M4: Associatividade

A (B C) = (A B) C

M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

0 1 0 0	×	0 2 0 0	=	0 0 0 0

M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

0 1 0 0	×	0 5 0 0	=	0 2 0 0	×	0 5 0 0

mas as matrizes A e B são diferentes.

Matrizes com propriedades especiais

1. Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:
   A^k = 0
2. Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:
   A^k+1= A
3. Uma matriz A é idempotente, se:
   A² = A
4. As matrizes A e B são comutativas, se:
   A B = B A
5. As matrizes A e B são anti-comutativas, se:
   A B = - B A
6. A matriz identidade I_d multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido.
   I_d A = A
7. A matriz A será a inversa da matriz B, se:
   A B = I_d  e  B A = I_d

A transposta de uma matriz e suas propriedades

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz

A^t = [a(j,i)]

e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de A^t.

Propriedades das matrizes transpostas

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.

(A^t)^t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.

(kA)^t = k (A^t)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.

(A + B)^t = A^t + B^t

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.

(A B)^t = B^t A^t

Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedades

Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A^t = A

Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A^t = -A

Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas

S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+A^t é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-A^t é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:

S =(1/2)(A + A^t)  e  T =(1/2)(A - A^t)

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Reflexão

Não há amor maior

Qualquer que fosse seu alvo inicial, os tiros de morteiros caíram em um orfanato dirigido por um grupo missionário na pequena aldeia vietnamita. Os missionários e uma ou duas crianças morreram imediatamente e várias outras crianças ficaram feridas, incluindo uma menininha de uns oito anos de idade.

As pessoas da aldeia pediram ajuda médica de uma cidade vizinha que possuía contato por rádio com as forças americanas. Finalmente, um médico e uma enfermeira da Marinha americana chegaram em um jipe apenas com sua maleta médica. Determinaram que a menina era a que estava mais gravemente ferida. Sem uma ação rápida, ela morreria por causa do choque e da perda de sangue.

Uma transfusão era imprescindível e era necessário um doador com o mesmo tipo sangüíneo. Um teste rápido revelou que nenhum dos americanos possuía o tipo correto, mas vários dos órfãos que não haviam sido atingidos tinham.

O médico falava um pouco de vietnamita simplificado e a enfermeira possuía uma leve noção de francês aprendido no colégio. Usando essa combinação, juntos e com muita linguagem de sinais improvisada, eles tentaram explicar para a jovem e assustada platéia que, a não ser que pudessem repor uma parte do sangue perdido da menina, ela com certeza morreria. Então perguntaram se alguém estaria disposto a doar um pouco de sangue para ajudar.

Seu pedido encontrou um silêncio estupefato. Após longos momentos, uma mãozinha lenta e hesitantemente levantou-se, abaixou-se e levantou-se novamente.

- Oh, obrigada - disse a enfermeira em francês. - Qual é o seu nome?

- Heng - veio a resposta.

Heng foi rapidamente colocado em um catre, os braços limpos com álcool e uma agulha inserida em sua veia. Durante toda a penosa experiência, Heng permaneceu tenso e em silêncio.

Depois de algum tempo, ele soltou um soluço trêmulo, cobrindo rapidamente seu rosto com a mão livre.

- Está doendo, Heng? - perguntou o médico.

Heng balançou a cabeça, mas, após alguns instantes, outro soluço escapou e mais uma vez ele tentou esconder o choro. Novamente o médico perguntou se a agulha o estava machucando e novamente Heng balançou a cabeça.

Porém agora seus soluços ocasionais haviam dado lugar a um choro constante e silencioso, seus olhos apertados, o punho na boca para abafar seus soluços.

A equipe médica estava preocupada. Algo obviamente estava muito errado. Nesse momento, uma enfermeira vietnamita chegou para ajudar. Vendo o sofrimento do pequeno, ela falou rapidamente com ele em vietnamita, escutou sua resposta e respondeu-lhe com a voz reconfortante. Após um instante, o paciente parou de chorar e olhou interrogativamente para a enfermeira vietnamita. Quando ela assentiu, um ar de grande alívio se espalhou pelo rosto do menino.

Olhando para cima, a enfermeira contou calmamente para os americanos:

- Ele achou que estava morrendo. Entendeu errado. Achou que vocês haviam pedido que ele desse todo o seu sangue para que a menina pudesse viver.

- Mas por que ele estaria disposto a fazer isso? - perguntou a enfermeira da Marinha.

A enfermeira vietnamita repetiu a pergunta para o menino, que respondeu simplesmente:

- Ela é minha amiga.

(John W. Mansur, extraído do Livro Histórias para aquecer o coração)

Ninguém tem amor maior do que este de da sua vida pelos seus amigos. (Joao 15:13)

Jesus se sacrificou de tal maneira por você!

NOTAS DOS SEMINARIOS

	SEMINÁRIO  2º ANO
Nº	ALUNO
1	ADAMO VINICIUS	8,0
2	ARIEL TAVEIRA	9,0
3	BIANCA SOUSA	10,0
4	BRUNO ANDERSON	9,5
5	CAROLINE FIRMINO
6	CRISTHIAN GOMES
7	DANIELA MARQUES	9,5
8	EVELLYN VIVIANE
9	FELIPE SAMPAIO	8,0
10	GABRIEL IVO	8,9
11	GUSTAVO ALENCAR	9,5
12	HIANCA RODRIGUES	8,5
13	IAN BOTELHO	9,0
14	IANCA THALITA
15	ISAURA CAROLINE
16	JALEF XENOFONTE	9,0
17	JAIRO PARENTE
18	JOANA RICARDA
19	JOAO AGOSTINHO	8,0
20	JONATAS DAVI	7,0
21	JOSHUA IGOR	7,0
22	JURGEN MATHEUS	9,0
23	KAROLINE GEORGIA	7,0
24	KAIO GREGORY	9,0
25	KLECIA HELLEN	8,5
26	LEONAARDO CRUZ	8,5
27	LUCAS RIBEIRO	9,0
28	LUCAS RUGDÁ	8,0
29	LUIZA BOTELHO
30	MARIA LUANA	8,5
31	MARIA LUIZA	8,0
32	MARIA THALINE	9,5
33	MARIO VIEIRA	9,0
34	MATHEUS FIDELIS
35	PABLO FERREIRA	8,5
36	RAYANA LARYSSA	8,0
37	RAYELLE PEREIRA
38	SAMUEL PEREIRA	8,0
39	STEFFANY DE OLIVEIRA	9,0
40	THIAGO ROCHA	8,0
41
42	TULIO CICERO	8,0
43	TULIO MATIAS	8,0

1º ANO
Nº	ALUNO
1	AMANDA DUARTE	9,0
2	ANA VICTORIA	7,0
3	ANDRÉ SANTOS
4	ANTONIO CALEB
5	AYNARA SILVA
6	BIANCA BRINGEL	9,0
7	CARLOS ALVES	8,5
8	CHURDLEY MARIANO	9,0
9	CICERO GABRIEL	9,0
10	C. REGINALDO JR	8,5
11	DIEGO FECHINE	7,0
12	FARNEY FILHO
13	FCA DENISE	9,0
14	GABRIEL PEREIRA
15	GABRIELA NEVES	7,0
16	IASMIN MAYARA	8,0
17	IVANDER BRENO
18	JOSÉ ANTONIO	7,5
19	LIVIA MENDES
20	LUCAS MONTEIRO	7,5
21	MADIA POLIANA	7,0
22	MARIA ALICIA	9,0
23	MARIA CLARA
24	MATHEUS ALVES	7,5
25	MATHEUS SATERO	7,5
26	NICHOLAS ANDREY
27	PAMELA PAYANE	7,0
28	PETRUS BORGES	8,5
29	RAYSSA LAYS	7,5
30	ROBERTO ESTEVAM	7,5
31	RHUAN LUCAS
32	SARA LARYSSA	7,0
33	SUIANE EMIDIA	8,0
34	THAILA VICTORIA	7,0
35	THAIS FERNANDES	7,5
36	VINICIUS RIBEIRO	8,5
37	VICTORIA BERNARDO	7,0
38	WHEMERSON SOUSA	8,5

** Os alunos que não apresentaram seus trabalhos infelizmente estão sem nota de recuperação paralela.